２－８ モデル作成のガイドライン
以下の説明で、重要な箇所はアンダ－ラインを付けている。また以下で説明するモデルの入力デ－タは、モデル番号にＭを付けた名前のファイルとして、計算結果はモデル番号にＲＭを付けた名前のファイルに収納している。
２－８－１ モデル作成の注意点
計算結果に含まれる誤差を小さくするためには、下記のことに注意してモデルの作成を行う。
１）適切なブロック分割
材質や厚さの違う部分は必ずブロックに分割するが、材質や厚さが同じ部分でも適切にブロックに分割する。そのとき下記に注意する。
・細長い形状のブロックにしない。
・同じブロック上の境界は、できるだけ離れるようにする。例えばキレツのある場合は、きれつにそって２つのブロックに分割する。
２）適切な要素設定
・同じブロックでは互いに接合、交差、重複する要素を設定しない。
・要素の長さは、その要素の近傍の領域の幅の少なくとも１／２以下とし可能であればより小さくする。
・変位や応力度の値を求めたい箇所の近くの境界は、短い要素を設定する。
３）適切な境界条件の値
要素に与える表面力または変位は、要素上で合計と１次モーメントが元の問題に与えられた境界条件に等しい線形の分布になるように表す。このことは、計算結果の精度を向上する上で非常に重要である。
なお表面力はブロックの全厚さにおける値で表すことに注意する。
４）要素数と計算時間
計算結果の精度は、基本的にはモデルに設定した要素が多いほど向上するが、モデルの設定の稚拙に左右される所が大きい。極端に要素数の多いモデルは数字の有効桁数に起因する誤差が出やすくなるので避ける。
計算時間は、パソコンの種類により異なるが、一般に要素数が多い場合でも十数秒である。
２－８－２ 梁の曲げ
図２－１２は、中央に載荷された梁のスパン中央下のＧ点におけるたわみと引張応力度（曲げ応力度）を解析するための３つのモデルである。
解析したいＧ点の付近の要素を短く設定している。このように応力度の値を計算する箇所の付近で要素を短くする場合は、隣合う要素の長さの比が１／２～２の範囲にあるように、次第に長さが短くなるように要素を設定する。ＨやＦの要素は、Ｇから離れているので急に短くなってもよい。
モデル２０４は、ＨとＦの要素で、要素に垂直な方向の変位を要素全長にわたって０としたため、垂直方向の反力の分布状態による偏心で値は小さいが全体の誤差の原因になるようなモ－メントが生じている。
モデル２０５は、要素ＨとＦの反力の分布によるモ－メントが生じない変位を境界条件として与えたものであり、スパン中央のＧの位置に設定した内点で計算した引張応力度は、表２－９のようにピン支承の場合の理論値（３－８－１１項参照）と比べて差が小さい。
モデル２０６は、対称性から半分に分割したモデルであり、この場合はＣに集中荷重を与えられない。誤差がやや大きいのはＧが要素の端になったためと、前述のＨにおけるモ－メントの発生が原因である。
モデル２０４
モデル２０５（ＨとＦの境界条件がモデル２０４と違う）
モデル２０６
図２－１２ 梁の曲げの３種類のモデル
境界上の１点で変位を指定し反力を集中荷重として求めることはできない。変位を１点で指定したい場合は、図２－１２のＨやＦのようにその点を含む長さの小さい要素を設定し、その要素上で線形に分布する適当な変位を与えることになる。この場合の反力の計算結果は、その要素上で分布する値になる。
内点を境界上や境界の付近に設定するときは、要素の端からはなれた中央部分の誤差が少なく、要素の端は誤差が大きい。
要素の端部すなわち要素と要素の切れ目の値Ｓ0は、図２－１３のようにその位置から領域の内部に等間隔で設定した内点の値Ｓ1,Ｓ2,Ｓ3 を計算し、２次関数で外挿した値 Ｓ0＝３Ｓ1－３Ｓ2＋ Ｓ3を利用する。
表２－９ モデル２０４～２０６の精度
支承部Ｈの鉛直 中央下面Ｇ点 中央下面Ｇ点
方向反力の合計 のたわみ の引張応力度
理論値 ５０．０ １８．６ ７１．７
モデル２０４ ５０．３ １８．５ ７０．５
モデル２０５ ４９．８ １９．０ ７２．０
モデル２０６ ４９．９ １８．６ ７０．７
図２－１３ 要素の端の値Ｓｏを領域内の値Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3 から推定
２－８－３ 集中荷重
モデル２０４のように、集中荷重を境界条件に与えることができる。ただし、集中荷重を与えることができるのは、ブロックが１つのモデルにかぎる。この場合の集中荷重は要素の中点に作用するものとし、入力デ－タは集中荷重を与える要素の境界条件の種類（表２－１のＮ６２）に－１を入れ、集中荷重の大きさは要素の個別座標のｘ方向とｙ方向に分解してその要素の始点の値（表２－１のＣ６５とＣ６７）に入れる。
なお、集中荷重の問題は２－７節の方法で内部の変位と応力度計算し図形表示することができない。また２－５節の方法で要素の変位と表面力の計算結果を図形表示したときに、集中荷重は集中ではなく作用している要素の上で三角形に分布する荷重として出る。
２－８－４ キレツ先端の応力拡大
図２－１４は中央または両端部にキレツのある平板に引張応力が作用している問題であり、図２－１５はそのモデルである。対称性を考慮して、領域の１／４のＡＢＣＤＥの部分について、モデル２０７と２０８を設定する。これらの２つのモデルは要素分割が同じで、境界条件が違っている。
キレツのある問題のモデルは、キレツを含む線分で領域を分割し、ブロックに分けてモデルを設定する。
キレツ先端のＥの付近では応力の分布が急激に変化するので、図２－１５のように短い要素を設定する。キレツ先端から数えて２つずつの計４個の要素に設定した内点は大きな誤差を含むので、キレツ先端から３つ以上離れた要素の中央に設定した内点の計算結果を採用する。これらの内点の変位と応力度の計算結果を開口型の応力拡大係数Ｋ1の計算式に代入すると、表２－１０のようになる。
表２－１０のＫ1の値を、キレツ先端からその内点までの距離を表す図２－１６のｒ1とｒ2を横軸にして表すと図２－１７になる。図にはｒ1とｒ2が限りなく０に近づいたときの値を、２次関数の外挿により求めて理論値と比較している。
キレツ先端から片側２つ合計４つの要素には大きな誤差が含まれるので、この上に設定した内点の変位や応力度の計算結果は使えない。
図２－１４
図２－１５
図２－１６ キレツ先端の要素設定
表２－１０ キレツ先端付近の計算結果と応力拡大係数
図２－１７ 応力拡大係数の計算
２－８－５ 円孔のある平板
図２－１８は半径５の円孔のある平板が遠方でＹ方向に均一な引張応力を受ける場合のモデルである。円孔の境界は正３０角形（長さ１．０４５の１辺が１要素）とし、内点を設定するＸ軸の正の部分に近い境界に短い要素を設定している。Ｘ軸上にある要素の長さが一番短く０．２６２であり、要素の中点がＸ軸上に位置し、その中点に円孔の境界上に位置する内点を設定している。
モデル２０９は有限板であり、モデル２１０は無限板に円孔１つであり、モデル２１１は無限板に円孔２つである。図２－１９はＸ軸の正の部分に設定した内点のＹ方向垂直応力度の計算結果である。円孔が１つの無限板の場合は、Ｘ軸上に位置する円孔の縁のＹ方向垂直応力度の理論値が、無限遠で作用する均一な引張応力度１０のちょうど３倍の３０になる。モデル２１０の計算結果では、この値が２９．８９である。
図２－１８ 円孔の引張り
図２－１９ モデル２０９～２１１の計算結果
２－８－６ 無限領域問題
モデル２１０のように、無限領域問題を計算できる。無限領域問題は、無限遠で与える均一な応力度の値（表２－１のＣ１４、Ｃ１５、Ｃ１６）を入力デ－タに入れることにより、有限領域と同じようにモデル入力デ－タを作成すれば計算できる。ただし、ブロックに分割することができずブロックを１つにしなければならない。なお、開口の境界上の要素の番号が左まわりの順番になることに注意する。
２－８－７ せん断応力の作用する片持ち梁
図２－２０は円孔とキレツのある梁の先端に鉛直方向の荷重が作用している問題であり、３つのブロック
に分割したモデル２１２を設定する。図２－２１のように、梁先端に作用する放物線分布の鉛直荷重を、境界条件として与えるためにＥＦにある要素上で線形の形に分布する表面力に置き換えている。
図２－２２はブロックごとに、表面力の計算結果の力の釣合を検算したものである。支柱の固定部のＡＩにおける上向き反力の誤差が一番大きく２.３％（６８１.８と６６６.７の誤差）である。
図２－２０ キレツと円孔のある梁とそのモデル２１２
図２－２１
図２－２２ モデル２１２の計算結果の誤差の検算
２－８－８ 境界条件の要素上での線形分布への置き換え
図２－２３は、実線のように分布する境界条件を、点線のように要素上で線形に分布する値への置き換える方法を説明している。長さ２ｋの要素上で分布する表面力または変位の値の合計をＦ、要素の中心に関する１次モーメント（表面力または変位と要素の中心からの距離の積の合計）をＭとすると、合計と１次モ－メントが等しい線形分布に置き換えたときの要素の左端の始点の値は（Ｆ－３Ｍ／ｋ）／２ｋであり、右端の終点の値は（Ｆ＋３Ｍ／ｋ）／２ｋである。
なお表面力はブロックの全厚さにおける値で表すことに注意する。
先の図２－２１の表面力は、このようにして置き換えたものである。
図２－２３ 境界条件の要素上での線形分布への置き換え方法
２－８－９ 温度応力
図２－２４は、図２－２５に示すタイルを張付けた鉄筋コンクリ－ト壁について、対称性から灰色に塗った部分を取り出し、タイルの温度が１０℃上昇したときの温度応力を計算するモデルである。Ａの付近に生じる大きな応力を計算するためにＡの付近の境界を細かく要素分割している。
このモデルでは、タイルが全く拘束されずに１０℃温度が上昇し自由に膨張したときの歪度０．０００１を、タイルのブロックの初期歪度として入力デ－タ（表２－１のＣ３５）に与えることにより計算できる。
図２－２６は、タイルとコンクリ－ト壁の張付け面のＡ点近傍に生じる面に垂直な応力度の計算結果である。目地モルタルの幅が０．５ｃｍの場合のモデル２１３の入力デ－タと計算結果を、①ディスク９７９１に収納している。 なお温度分布が複雑な場合は、３章の有限要素法で計算する方が適当である。
２－８－１０ 乾燥収縮応力
乾燥収縮や吸湿膨張により生じる応力は、温度応力の場合と同様にモデルのそれぞれのブロックが拘束されずに自由に収縮膨張したときの歪度を、初期歪度として入力デ－タの表２－１のＣ３５に入れることにより計算できる。
図２－２４ モデル２１３
図２－２５ タイル張付の壁
図２－２６ 張付け面のＡ点近傍に生じる面に垂直な応力度の計算結果
２－８－１１ 接合境界と接触境界の物体力または変位のずれ
接合境界では、接合される要素間に変位のずれおよび物体力（外部から作用する応力）を与えることができる。接触境界では、境界に垂直な方向の変位のずれおよび平行な方向の物体力を与えることができる。
図２－２７は接合境界ＤＨ上で物体力を与えたモデル２１４であり、図２－２８は接合境界ＣＦ上で境界に垂直な方向の変位のずれ（開口に相当）を与えたモデル２１５である。これらの物体力と変位のずれは、次のように入力デ－タに入れる。
理論値 δｘ＝Ｘ（Ｙ－１０）/２００ ブロック①～③いずれも平面応力状態
δｙ＝－｛Ｘ２＋０．２５（Ｙ－１０）２｝/４００ ヤング率 １００
σｘ＝Ｙ－１０ σｙ＝０ τｘｙ＝０ ポアソン比０．２５
図２－２７ 物体力を与えたモデル２１４
理論値 δｘ＝Ｘ/５ Ｘ≦２０ σｘ＝１００/あつさ
δｘ＝０．５＋Ｘ/５ Ｘ≧２０ σｙ＝０
δｙ＝剛体変位－Ｙ/２０ τｘｙ＝０
ブロック① ヤング率 １００ ポアソン比０．２５ 厚さ ５ 平面応力状態
ブロック② ヤング率 ４８０ ポアソン比０．２ 厚さ １ 平面ひずみ状態
図２－２８ 変位のずれを与えたモデル２１５
物体力 接合された２つの要素のうち、小さい番号の要素の境界条件の値に、その小さい番号の要素から見て物体力を図２－２９の符号で入れる。ここで、物体力はブロックの全厚さにおける値で表す。
変位のずれ 接合された２つの要素のうち、大きい番号の要素の境界条件の値に、その大きい番号の要素から見て変位のずれを図２－３０の符号で入れる。
通常は、物体力も変位のずれも０で与えられている。すなわち接合境界は、接合された要素の表面力がｘ方向とｙ方向のいずれでも釣り合い、変位がｘ方向とｙ方向のいずれでも同じになる。接触境界では、接触する要素のｘ方向の表面力がそれぞれの要素で０になり、ｙ方向の表面力が釣り合い、かつｙ方向の変位が同じになる。
図２－２９ 物体力の方向と入力デ－タの符号
図２－３０ 変位のずれの方向と入力デ－タの符号
図２－３１の（ａ）はキレツの開口を閉じるのに必要な応力、（ｂ）は閉じたキレツにクサビを打ち込んだときに生じる応力、（ｃ）はキレツを閉じるような結合力とキレツの閉じる量の関係、（ｄ）は表面の形状が異なる２つの物体が押し付けられたときの接触面の変形と応力を表している。これらの値は、ＡＢの部分を接触境界として計算することで求めることができる。
図２－３１
