９章 モデル作成のガイドライン
以下の説明に出てくるモデルの入力デ－タはモデルの番号にＭを付けたファイル名で、節点の変位と節点力の計算結果はモデルの番号にＲＭを付けたファイル名で、内部の変位と応力度を計算するための位置指定デ－タとその計算結果は、モデルの番号にＤ１ＭとＳＤＭを付けたファイル名で、図形表示する要素番号を
指定するデ－タはモデルの番号にＤ２Ｍを付けた名前のファイルに収納している。
これらのファイルを使うことにより、計算を実際に行って説明の内容を確認し計算を再現できる。また、弾性解析が初めての方は、これらのモデルを修正して類似の問題を解くモデルを作成して計算を実行し、計算結果を検討することが理解を深める上で有効である。
９－１ 曲面の近似性
図９－１は、円筒を輪切りにした中空円盤の１／４の部分を２つの要素に置き換えたモデル４０４である。図９－２は上面の形状であり、黒丸が節点である。節点の座標がモデル入力デ－タで与えられ、節点以外の部分の稜の形状は、プログラムに使われた関数（１－１１節の文献に示す）から自動的に決まる。
曲線の部分の形状の近似性を調べるには、８章の要素内の変位と応力度の計算を使う。モデル４０４の計算結果（ファイルＲＭ４０４に収納）をファイルＲ１に入れ、位置指定デ－タ（ファイルＤ１Ｍ４０４に収納）をファイルＤ１に入れて、８－４節の説明の通りに計算を実行すると、図９－１の要素①の稜ＡＢ上の座標がファイルＳＤに出力される。
図９－２の曲線の部分は、稜の中間にある節点が稜の中点に位置しており、円を精度よく近似している。
曲線の形状が円以外の放物線などの場合は、稜の中間にある節点の位置を稜の中点から少しずらすと、形状の近似性がよくなる。
図９－１ モデル４０４ 図９－２ モデル４０４の上面の形状
９－２ 不適当な要素の形状
図９－３は要素の２つの面が滑らかに繋がった要素である。図９－４は１つの面上にある節点が重なって、５面体の要素になったものである。図９－５は大きく凹んだ角のある要素である。このような図９－３～図９－５の要素は、数値計算上の誤差が出やすいので用いないようにする。
図９－３ 面が滑らかに接合した不適当な形状の要素
図９－４ 節点を重ねた不適当な 図９－５ 大きく凹んだ角のある
形状の要素（数字は節点番号） 不適当な形状の要素
９－３ 円柱のモデル
図９－６は、円柱を輪切りにしてその１／４の扇形の部分に要素を設定したモデル４０５である。図９－７のモデル４０６を４章のように自動作成し、節点のＸ座標とＹ座標を変更して図９－８のモデル４０７を作る。さらに図９－９のモデル４０８を作成して、モデル４０７とモデル４０８を合成して、モデル４０５の入力デ－タが作成できる。９－２節のように、円筒の中心（モデル４０８）の要素は面と面が滑らかに接合した形状にできないことに注意する。
図９－６ モデル４０５
図９－７ モデル４０６
図９－８ モデル４０７
図９－９ モデル４０８
９－４ モデルに与える節点の変位
モデルの節点の変位が分かっている場合は、モデル入力デ－タの節点の変位の値としてそのまま与える。この場合は、節点力が計算結果として求められる。
図９－１０は均一な引張応力状態の問題である。Ｙ軸方向の伸びが０．０６であるから、Ｙ＝０の面上の節点のＹ方向変位を０とし、Ｙ＝６０の面上の節点のＹ方向変位を０．０６で与えたモデルで計算することができる。
変位を与えた節点の計算結果の節点力は、要素１個のモデル４０９のとき図９－１１に、要素８個のモデル４１０のとき図９－１２になる。
図９－１０ 均一引張応力の問題
図９－１１ モデル４０９と計算結果の節点力
図９－１２
節点の変位は、Ｘ、Ｙ、Ｚ方向で与えるので、変位がＸ、Ｙ、Ｚ軸に平行でない方向で与えられた場合は、Ｘ、Ｙ、Ｚ方向の変位に分解してモデル入力デ－タの値として与える。
図９－１３は内面に均一の圧力が作用する円筒であり、図９－１に示したモデル４０４はこの問題を計算するモデルである。モデル４０４では図９－１４のように、内面の円周にある節点に円周と垂直方向に太い矢印の０．０００１の変位が生じる場合を対象とし、細い矢印のようにＸ方向とＹ方向の変位に分解してモデル入力デ－タに与えている。
９－５ モデルに与える節点力
実際には物体の表面に分布して作用する外力を、モデルでは節点に集中して作用している節点力に置き換えている。置き換えたときの節点力の値は、節点力の仕事量と要素内の弾性歪みエネルギ－が同じであるという条件で求めている。このため、実際に作用する外力とモデルの節点力の値は、合計は同じでもその分布はかなり違っている。
従って外力をモデルの節点力に置き換えるときは、注意が必要である。
１）等分布の外力
図９－１０の均一引張の問題で、図９－１５はＹ軸に垂直な断面が長方形の要素を設定したモデル４１１でありＹ＝６０の面上の節点に節点力を与えている。このように、長方形の面で頂点と稜の中点に節点が位置する要素の場合は、等分布荷重を置き換えた節点力の大きさは、図９－１６のように頂点に－１、稜の中点に４の割合で等分布する外力と合計が同じ値になる。２つ以上の要素に属する節点は、それらの要素ごとにおける節点力の合計になる。
例えば、図９－１０の均一引張の問題で、モデル４０９やモデル４１０と同じ要素分割で節点力を与えて解くには、図９－１１と図９－１２に示したような節点力を与えたモデル（これらのモデルはモデル４１２とモデル４１３とする）を設定する。
図９－１５ モデル４１１
図９－１６ 等分布する外力の節点力への置き換え（要素の面が長方形のときの節点力の割合）
２）線上に等分布する外力
図９－１７の中央荷重の作用する単純支持の梁の問題について、対称性から左半分について図９－１８のように３つの要素のモデル４１４を
設定する。中央の荷重は問題ではＡＢの線上に等分布しているが、モデルの節点力は図９－１７に示すように稜の端で＋１、稜の中点で＋４の割合（合計３００が５０、２００、５０に分かれる）になる。
このような割合の節点力でＡＢの線上に等分布している荷重の置き換えができることは、要素③の上面に位置を指定して要素内部の応力度を計算し、その結果が図９－１９のようにＸ軸方向に等分布していることから確認できる。なお図９－１９は、モデル４１４のＹ＝1６～１９の位置の表面に垂直な応力度の計算結果である。誤差のない値０に比べて大きな誤差が出ている。このことについては、９－１０節で説明する。
図９－１７ 中央荷重の単純支持の梁
図９－１８ モデル４１４
図９－１９ モデル４１４の計算結果の要素③の上面のＺ方向垂直応力度（荷重と同じ方向の垂直応力度）
３）分布外力を置き換えた節点力の求め方
等分布の外力を長方形断面の要素の節点力に置き換える場合は、１）の説明のように簡単であるが、一般に外力の分布状態から節点力の値が直ちに求まることは少ない。９－４節で説明したように、変位が分かる場合は、節点に変位を与えたモデルで計算することにより、分布する外力を置き換えた節点力の値を求めることができる。
変位が分からない場合は、とりあえず近似すると思われる節点力または変位を与えたモデルを作成して節点の変位と節点力を計算し、その結果について外力が分布する表面の位置を指定して内部の変位と応力度を計算し、応力度が元の問題の外力の分布を近似するように、モデルを繰り返し作り直す方法による。
９－６ 集中荷重と１点支持
荷重が１点に集中して作用する問題を計算するには、その点に節点を設定し荷重と同じ大きさの節点力を与えたモデルを作成する。
１点で支持された箇所のある問題を計算するには、その点に節点を設定し支持条件と同じ変位を与えたモデルを作成する。
近似性を良くするには、その節点の回りの要素を小さくすることが必要である。ただし計算結果はその節点の回りの要素に荷重が分布して作用している場合の近似値になる。
９－７ 座標軸の設定
モデルに設定するＸＹＺ座標軸の方向は、ＸＹＺ座標軸の方向で表される要素内の変位と応力度が分かりやすいように選ぶようにする。
また対称から切断した面は、面に垂直な方向の変位を節点に与えることになるので、ＸＹＺ座標軸のどれかと必ず垂直にしなければならない。
９－８ 切断面の境界条件
対称性がある問題を切断してモデルを設定した場合に、切断面上にある節点に与える変位と節点力は次のようである。
切断面がＸ軸と垂直な場合 Ｘ方向変位０ Ｙ方向節点力０ Ｚ方向節点力０
切断面がＹ軸と垂直な場合 Ｘ方向節点力０ Ｙ方向変位０ Ｚ方向節点力０
切断面がＺ軸と垂直な場合 Ｘ方向節点力０ Ｙ方向節点力０ Ｚ方向変位０
９－９ キレツ面
図９－１７の中央荷重の梁で、中央荷重の位置の断面の下半分にキレツがある場合を例にする。図９－２０と図９－２１は、中央の黒く塗りつぶした面がキレツのモデル４１５とモデル４１６である。
図９－２０は全体のモデル４１５であり、中央断面のＢＣ上の白丸で表した節点は、同じ座標の節点がそれぞれ２つあり、一方が要素①と②に他方が要素③と④に属している。すなわち、要素①と③は、キレツ先端のＢ点の節点を除いて接合していない。なお、幅のあるキレツのときは、キレツの面上の節点の座標をキレツの幅に合うように設定する。
図９－２１のモデル４１６は左半分のモデルであり、次のように中央断面上の節点に変位と節点力を与えることで、ＡＢ間は接合され、ＢＣ間はキレツになる。
ＡＢ上の節点 面に垂直なＹ方向の変位＝０
面に平行なＸ方向およびＺ方向の節点力＝０
ＢＣ上のＢを除く節点 Ｘ方向、Ｙ方向、Ｚ方向いずれも節点力＝０
図９－２０ モデル４１５
図９－２１ モデル４１６
９－１０ 境界条件の近似
図９－１８の中点荷重の作用する単純支持の梁のモデル４１４で、上面、下面、左端面の面上のＸ＝３の位置を指定して応力度を計算すると（８章参照、位置指定デ－タはファイルＤ１Ｍ４１４に収納）図９－２２になる。荷重の作用位置と支承位置（図９－１８のＡＢとＥＦ）から離れた所は、元の問題では表面に外力が作用していないので、面に垂直な方向の垂直応力度と面に平行な方向のせん断応力度は０であるはずが、計算結果にはかなりの大きさの応力度すなわち誤差が生じている。これは、モデル４１４の要素の設定が粗いためである。
図９－２３は図９－１７の中点荷重の梁の問題について要素を細かく設定したモデル４１７である。上面、下面、左端面の面上のＸ＝３の位置を指定して応力度を計算すると（８章参照、位置指定デ－タはファイルＤ１Ｍ４１７に収納）図９－２４になる。
モデル４１４の図９－２２に比べると、荷重の作用位置と支承位置（図９－１８のＡＢとＥＦ）以外では、面に垂直な方向の垂直応力度と面に平行な方向のせん断応力度がほぼ０になっており、誤差が小さい。
問題に与えられた境界条件の近似性を向上するには、モデルの要素を細かく設定する。
図９－２２ モデル４１４のＸ＝３で表面の位置の応力度
図９－２３ モデル４１７
図９－２４ モデル４１７のＸ＝３で表面の位置の応力度
９－１１ 要素の設定を細かくする方法
モデルの要素を細かく設定すると、次のような傾向がある。
境界条件の近似性が向上する。
モデル入力デ－タ作成に手間がかかる。
計算結果を検討するのが難しい。
パソコンに必要な容量が大きくなる。
計算時間が長くなる。
従って、できるだけ要素数が少なくて、精度のよい計算結果が得られることが望ましい。そのためには変位や応力度を求めたい箇所と、境界条件の近似性を良くする必要のある箇所は細かく要素を設定し、そうでない部分は要素を粗く設定する方法が有効である。
境界条件の近似性を良くする必要のある箇所は、計算結果の誤差に影響を与える箇所であり、それがどこかは１０－１０節に述べる。
モデルの一部分について要素を細かく設定するのに、図９－２５のよな要素の設定方法が考えられるが、モデル作成で手作業の部分が多くなる。手作業の部分を少なくするには、図９－２３のモデル４１７のよう
に４－５節の入力デ－タ自動作成が利用できるように、Ｘ、Ｙ、Ｚ軸のどれかに平行な形状で一部の要素を細かく設定するのが有効である。図９－２６の左のモデルを自動作成し、その一部の節点のＺ座標を修正すれば、右のモデルができる。さらに欠けた部分に入るモデルを自動作成して、両者を合成すれば図９－２３のモデル４１７が作れる。
図９－２５ 特定箇所の細かい要素設定（手間がかかる）
図９－２６ 特定箇所の細かい要素設定（自動作成が使える）
９－１２ 温度応力と乾燥収縮応力
温度変化や乾燥収縮また湿潤膨張により生じる変形や応力は、拘束がなく自由に寸法変化したときの各々の要素の歪度を、表４－１のＣ５２の数値に入れることにより計算できる。
図９－２７は説明のために要素を２つにしたモデル４１８である。①の要素は温度変化がなく、②の要素が線膨張係数１０－５の材質で１０℃温度が上昇したとする。拘束なしで自由に膨張または収縮したときの歪度が０．０００１であるから、温度が上昇した②の要素の表４－１のＣ５２の値に０．０００１を入れる。なお、温度が低下したり、乾燥で収縮した場合は負の歪度で入れる。材質は①と②の要素いずれもヤング
率２×１０５、ポアソン比０.２とし、境界条件は左端の面上の８個の節点の変位が０で、他の節点の節点力が０としている。
図９－２８は、モデル４１８の計算結果の全体の変形を元の形と合わせて図形表示したものである。
図９－２７ モデル４１８
図９－２８ モデル４１８の計算結果の変形
９－１３ 数値積分点
要素内で体積積分を行うときに、ガウスの数値積分を用いている。モデル入力デ－タの表４－１のＮ１４に入れた３、４、５のいずれかが、積分点の数を識別している。個々の要素内で、３のときは２７点、４のときは６４点、５のときは１２５点での値を計算し、それらに重みをかけて合計して積分値としている。
３、４、５による計算結果の精度の違いは一般に少ないので、モデル入力デ－タに設定するガウスの積分点の数は、通常３にする。要素の形状が複雑な場合などに４または５を試みる。また、数値積分の積分点数の影響を調べる場合に、４や５を使う。
９－１４ 計算時間
計算時間はモデルの節点数が多いほど長くなる。パソコンの種類により異なるが、一般に節点数が多くても数秒～数十秒である。
モデルの節点の番号の付け方は、計算時間に影響しない。スカイライン法で連立方程式を解くときに、係数マトリックスのバンド幅が最小になるように節点の順番の並び換えを自動的に行っているからである。
９－１５ 計算できないモデル
１）剛体変位を生じるモデル
回転または平行移動を生じるような節点の変位を与えたモデルは、計算できない。これは、計算過程で使う連立方程式が特異になり解が求まらないからである。
ただし、有効数字の誤差のために大きな剛体変位を含んだ計算結果が出る場合がある。
２）釣り合い条件を満足できないモデル
モデルの節点に変位を与えた所にどのような節点力を入れても、モデルに与えた節点力と釣り合わないようなモデルは、計算結果が出た場合でもその計算結果は意味がない。
３）節点数が限度を越えたモデル
節点数が多いと、連立方程式を解くときに必要な容量が多くなり、ハ－ドディスクの容量を越えると計算できない。
節点数が 1000 2000 4000 6000 8000 のいずれかを限度とする実行用ファイル F3D1000.EXE ～ F3D8000.EXE があり、数の大きい実行用ファイルほどパソコンに大きな容量が必要である。サンプルはF3D1000.EXEを提供している。
モデルの節点数が収まるものから数の一番小さい実行用ファイルを選んで計算してもパソコンの容量が不足する場合は、１０－９節に説明する方法に従って計算する。ただし、１０－９節に説明する方法は、数値の有効数字が単精度で小さく、計算結果に含まれる誤差が大きくなる場合があることに注意しなければならない。
それでも計算できない場合は、節点数を減らしたモデルにするか、またはハ－ドディスクの容量の大きいパソコンを用いなければならない。 なお、パソコン上で他のソフトを同時に動かしている場合は、使える容量が小さくなるので、他のソフトを中止して本ソフトだけを動かすようにして計算することが必要である。
