１０章 解説と演習
１０－１ 理論解の得られる問題
図９－１０の均一引張応力の問題、また図１０－１の純曲げ応力の問題の計算結果は、モデルの要素分割にかかわらず理論解に一致する。これは変位が線形または２次の分布をしており、要素の変位を表すのに使われた関数（１－１１節の参考文献に示す）により、変位を正確に計算できるからである。残念ながら、実際の問題の変位の分布は簡単でなく、計算結果に誤差を生じる。
図１０－１ 純曲げ応力の問題
図１０－２ 純曲げ応力の問題のモデルの節点力
１０－２ 純曲げの問題
図１０－１の純曲げの問題で、要素１つで節点に変位を与えたモデル４１９、要素１つで節点に節点力を与えたモデル４２０、要素８つで節点に変位を与えたモデル４２１、要素８つで節点に節点力を与えたモデル４２２の場合は、モデルに与える節点また計算結果の節点力は図１０－２になる。これらのモデルにおいて、要素内の変位と応力度の計算結果は、どの位置を指定しても理論値に一致する。
１０－３ 中央荷重の梁
図１０－３は、スパンの中央に荷重の作用する梁のモデルである。モデル４２３は全体の領域について、モデル４２４は対称性から左半分の
領域について要素を設定している。両者の計算結果は同じになる。９章のモデル４１４とモデル４１７と合わせて、中央載荷位置下面のたわみとＹ方向垂直応力度の計算結果を示すと表１０－１になる。２次元平面
表１０－１ 中点荷重の作用する梁の計算結果
| モデル４１４ | モデル４１７ | モデル４２３ | モデル４２４ | ||
| 中央載荷位置の
下面のたわみ |
側面部 | １８０４/Ｅ | １９１６/Ｅ | １８７３/Ｅ | １８７３/Ｅ |
| 中心部 | １７７８/Ｅ | １８９０/Ｅ | １８２９/Ｅ | １８２９/Ｅ | |
| 央載荷位置の下面
のＹ方向垂直応力度 |
側面部 | ７１．０ | ７１．０ | ７０．１ | ７０．１ |
| 中央部 | ７２．３ | ７２．０ | ７１．３ | ７１．３ | |
図１０－３ 中点荷重の作用する梁
応力状態を仮定した場合の理論値（F.Seewald および T.V.Karman, F.Seewald による。S.P.Timoshenko,J.N.Goodier,Theory of Elasticity, 3rd Ed. Mcgraw-Hill, 1970,の訳本 弾性論,コロナ社,1973、120～125ペ－ジ）は、ヤング率をＥとして中央載荷位置下面のたわみが１８６０／Ｅ、Ｙ方向垂直応力度が７１．７である。モデル４１４は要素の設定が粗いので誤差が大きいが、他のモデルは近似性がよい。なお、３次元での誤差のない値（理論値）はまだ与えられていない。
図１０－４ 部分圧縮を受ける円柱 図１０－５ モデル４２５
図１０－６ モデル４２５の計算結果
１０－４ 部分圧縮荷重を受ける円柱
図１０－４に示す上下面の同心円の部分を圧縮された円柱の問題について、対称性から１／８の部分に図１０－５のモデル４２５を設定する。
図１０－５の斜線を入れた箇所の要素は、面が滑らかに接合された形状
でなく、ＡＢとＢＣは直線でＢの箇所は角があり滑らかでない。ＡＢＣを円弧にすると、面が滑らかに接合した形状の要素になり、９－２節で説明したように不適当である。
図１０－６は応力度と変位の計算結果を解析値（斉藤秀雄、短円柱および円盤の軸対称変形、日本機械学会論文集、18,68,1952）と比較したものである。上面の荷重が作用している所の応力度（図１０－６のＺ＝４０で中心からの距離が０の値）以外は、解析値と近似している。なお同じ位置の応力度の計算結果が２つ示されているが、これらは隣り合った要素の接合面上の位置であり、両方の要素での計算結果を示したものである。
なお載荷面の節点に与えた節点力は、載荷面に等分布荷重が作用した場合を置き換えたものである。
図１０－７ モデル４１４の要素間の応力度の違い
１０－５ 要素内の応力度
１つの要素内で、応力度は連続した値で分布するが、隣り合った要素間で応力度は連続していない。図１０－７は、図９－１８のモデル４１４について、①②③の３つの要素の接合面の位置で、隣り合った要素の応力度の計算結果を示したものである。近似しているものも多いが、いずれも差があり、①と②の接合面上など大きな差がある。これらは各々の要素ごとに変位を簡単な関数で近似し、その偏導関数として応力を求めているため出た誤差であり、数値計算上必然的に発生するものである。
誤差を小さくするには、要素を細かく設定したモデルにする。
図１０－６に示したモデル４２５の応力度は、隣り合った要素の内部の位置での計算結果を両方示しており、解析値は両方の中間の値になっている。このように、隣り合った要素の接合面上の位置における応力度は、一般にそれぞれの要素の計算結果の中間の値になる。
１０－６ 要素内の変位
要素の接合面で、隣り合った要素の計算結果の変位は同じである。従って、計算結果の変形した形状は連続したものになる。
１０－７ 節点力と実際に作用する外力
節点力は、外力を数値計算のために節点に集中して作用する力に置き換えたものである。計算結果の節点力は外力を表しているわけではないので、外力として検討する場合は、計算結果の節点力のままではなく、９－５節で説明したように節点力と外力を互いに置き換える必要がある。
置き換えは、外力の作用する箇所の要素の表面に位置を指定して、８章の方法で応力度を計算し、それから表面に作用する応力を求める方法による。図９－２２や図９－２４がその例である。
問題に与えられた外力が図９－１７のとき、荷重の作用位置と支承位置から離れた所は外力が作用していないが、計算結果の図９－２２や図９－２４は、ある程度の表面力が生じている。また荷重の作用位置と支承位置の付近は、かなり広い部分に分布して荷重と支持反力に相当する応力度が出ている。これらは、誤差である。
誤差を小さくするには、要素を細かく設定したモデルにする。
１０－８ 温度応力と乾燥収縮応力
図１０－８は、カ－テンウォ－ルに使われるＰＣパネル（プレキャスト鉄筋コンクリ－ト製パネル）であり、鉄骨骨組に下部の２つの出っ張り（ファスナ－）を載せ、転倒しないように上部を止めて建物の外壁を構成する。ファスナ－のある側が内壁面になり、ファスナ－のない側が外壁面になる。
パネルの幅方向に左右対称であるから半分に切断し、図１０－９のような要素分割のモデルを設定する。切断面上の節点はＹ方向の変位を０で与える。またＸ方向の支承をパネル内面の上部に丸で示した２ヶ所と、ファスナ－の内側面の中点とし、これらの位置の節点はＸ方向の
変位を０で与える。Ｚ方向の支承をファスナ－の下部面の中点とし、この位置の節点はＺ方向の変位を０で与える。
ＰＣパネルの外壁面が化粧仕上げをされて水分の蒸発が少ないので外側の要素に－０．００００５の歪度の乾燥収縮が起こり、内壁面は乾燥
が顕著なため内側の要素に歪度－０．０００３の乾燥収縮が起きた場合
図１０－８ ＰＣパネル 図１０－９ モデル４２６と４２７
をモデル４２６とする。また、乾燥収縮がないとして、外壁面が日射を
受けて温度が２５℃上昇して線膨張係数が10－５の外側の要素に10－５×25＝
０．０００２５の歪度の膨張が生じた場合をモデル４２７とする。
モデル４２６とモデル４２７は、どちらも内側の要素の歪度より外側の要素の歪度が＋０．０００２５だけ大きいわけで、要素内に発生する
応力度は同じになり、変形も基本的に同じでモデル４２７の方がモデル
４２６より全体が均一に歪み度＋０．０００３だけ膨張していることになる。Ｙ軸の負の方向に見たときの変形を図１０－１０に示す。線が太いのは、要素が重なっているからである。２つのモデルの要素内の応力
図１０－１０ モデル４２６と４２７の変形
度は、有効数字上の差は出るが、同じ計算結果になる。パネル中央部分
の４個の要素について計算した要素内の変位と応力度を、ディスク９７
７１のファイルＳＤＭ４２６とＳＤＭ４２７に入れている。なお、位置指定デ－タはディスク９７７１のファイルＤ１Ｍ４２６に入れている。
図１０－１１は、上面に合計１４４４kgf（ ＰＣパネルの自重に相当）の等分布荷重に相当する節点力を鉛直に作用させたモデル４２８である。ＰＣパネルの要素設定と支承条件は、図１０－９のモデル４２６と同じである。図１０－１２は計算結果の支承位置の節点の節点力と、対称性から切断した面上にある節点の面に垂直な方向の節点力である。 なお自重が作用した場合のモデルは、モデルの内部に位置する節点に自重を分散して節点力として与えることもできる。
図１０－１１ モデル４２８ 図１０－１２ モデル４２８の節点力
１０－９ 単精度による計算
モデル入力デ－タから節点の変位と節点力を計算するには、６章で説明したように F3D1000.EXE ～ F3D8000.EXE のファイルを用いるが、これらのファイルは、有効数字を倍精度としている。有効数字を単精度にすると、数字の有効な桁数が小さくなるので、同じモデルを容量の小さいパソコンを使って計算することができる。ただし、有効数字の桁数に起因して計算結果に含まれる誤差が大きくなる。
単精度による計算は、ディスク９７７１に入れている F3V1000.EXE～F3V8000.EXE のファイルを用いて、それぞれ F3D1000.EXE ～ F3D8000.EXE のファイルと同じ方法で行う。
倍精度による計算 単精度による計算
F3D1000.EXE ←→ F3V1000.EXE
F3D2000.EXE ←→ F3V2000.EXE
F3D4000.EXE ←→ F3V4000.EXE
F3D6000.EXE ←→ F3V6000.EXE
F3D8000.EXE ←→ F3V8000.EXE
その他の入力デ－タの作成や図形処理などのファイルの使用方法は、同じである。
１０－１０ 単精度計算で誤差の出やすい問題
図１０－１３は、先端に荷重の作用する片持ち梁である。左端の面上の節点のＹ方向変位を０とし、Ａ点の節点のＺ方向変位を０とし、Ｂ点のＺ方向節点力を－１００とし、Ａ、Ｂ、Ｃ点のＸ方向変位を０とした境界条件を与え、高さＨに対して長さＬを変えて種々の要素分割のモデルを設定する。
単精度計算の F3V1000.EXE～F3V8000.EXE のファイルで計算した結果のＡ点のＺ方向節点力は、図１０－１４のＲの値になる。Ａ点のＺ方向節点力は１００が誤差のない値であるが、図１０－１４のように誤差が含まれる。誤差は、Ｌ＝５Ｈまでは小さいが、Ｌ＝１０Ｈになると少し大きくなり、Ｌ＝２０Ｈになるとかなり大きくなる。またこの誤差は、要素分割を細かくするほど大きくなる傾向がある。
このように細長い形状で、長さ方向に垂直にせん断荷重が作用する問題は、単精度の F3V1000.EXE～F3V8000.EXE のファイルで計算すると、誤差が大きくなることに注意しなければならない。先に示したモデル４０１～４２８のような問題は、この条件に当てはまらず、モデルの設定を適切に行えば、単精度の F3V1000.EXE～F3V8000.EXE のファイルでも誤差の小さい計算結果を得ることができる。
なお、図１０－１４のモデルを倍精度の F3D1000.EXE～F3D8000.EXE のファイルで計算すると、図１０－１４のＲの値に示したＺ方向節点力は、１００.０になり誤差が極めて小さい。
図１０－１３ 先端荷重の作用する片持ち梁
図１０－１４ 先端荷重の片持ち梁の反力Ｒの単精度による計算結果
１０－１１ Ｃ言語による計算
モデル入力デ－タから節点の変位と節点力を計算するには、６章で説明したように F3D1000.EXE ～ F3D8000.EXE のファイルを用いるが、これらのファイルは FORTRAN で作成されている。同じ計算をＣ言語です るように作成したファイル F3C1000.EXE, F3C2000.EXE をディスク９７７１に入れている。
これらのＣ言語によるファイルは、 F3D1000.EXE, F3D2000.EXE と同じ方法で使うことができる。
Ｃ言語によるファイル F3C1000.EXE, F3C2000.EXE で計算すると、節点の変位と節点力は F3D1000.EXE～F3D8000.EXE で計算したものと同一になる。ただし、要素の体積と最後の計算過程の状態を表すデ－タが計算結果に出ない。また、計算結果のＸ、Ｙ、Ｚ方向の節点力の合計が、フォルダのファイル R2.RST に書き込まれる。
なお、FORTRAN と Ｃ では計算速度とパソコンに必要な容量が少し異なる。
１０－１２ 計算結果の意味
２０節点の６面体アイソパラメトリック要素を用い、要素ごとの形状と変位は、その要素の２０個の節点の座標と変位から次のような関数で近似している。
モデルの節点の変位と節点力は、節点力がなす仕事量が要素の歪みエネルギ－に等しいという条件で求めている。
従って、要素ごとに変位を簡単な関数で近似することが原因で、計算結果には誤差が発生し、また変位の偏導関数として計算する応力度にも誤差が生じる。
１０－１３ 計算結果の妥当性
計算結果は作成したモデルに関して妥当でなければならない。妥当とは、次の節点力の釣り合いが数値計算上で許される誤差の範囲内で成り立つことである。
節点力の釣り合い
Ｘ、Ｙ、Ｚ方向の合計が０
Ｘ、Ｙ、Ｚ軸に関するモ－メントが０
節点力の釣り合いの数値計算上で許される誤差の範囲は、１０－９節で説明した単精度による計算の場合は数％程度になることがあるが、通常の場合は極めて小さい。
なお、モデル入力デ－タで節点力を与えた場合に、計算結果の節点力が与えられた節点力と若干違うことがあるが、その違いは有効数字の桁数に起因する誤差であり、１０－９節の単精度計算ではこの誤差がやや大きくなる。
１０－１４ 計算結果の誤差の検討
一般に理論解は分らないので、計算結果に含まれる誤差を厳密に調べることは困難である。しかし、節点力の釣り合いと境界条件の近似性から計算結果に含まれる誤差を次のように検討することができる。
１）計算結果の節点力の釣り合いに含まれる誤差を調べる。
Ｘ、Ｙ、Ｚ方向の合計の０からのずれ
Ｘ、Ｙ、Ｚ軸に関するモ－メントの０からのずれ
２）要素内で計算した変位または応力度の分布と、問題に与えられた変 位または荷重の分布との差を調べる。ただし、変位や応力を計算し ようとしている箇所から離れた部分は除く。
２）の例は、９－１０節で説明した境界条件の近似性である。
なお、２）で変位や応力を計算しようとしている箇所から離れた部分を除くことができるのは、次の理由による。
サンブナンの定理より、同じ材質形状の領域に作用する合計とモ－メントが同じで分布状態の異なる外力は、分布する区域の大きさと同じ距離以上離れた所の変位と応力に与える差が小さい。
このため、ある位置の計算結果の誤差を調べる場合は、その位置から離れた所に作用する外力の影響を、サンブナンの定理を参考にして判断できる。例えば図９－２２や図９－２４で左の支承反力はある領域に分布しているが、合計とモ－メントが問題における誤差のない反力（上向きに１００）と同じであり、その分布する領域の大きさより離れている中央の荷重が作用する付近は、支承反力による影響が小さい。
１０－１５ プログラム言語
本ソフトは FORTRAN、BASIC、C の言語で書かれたものを、実行用フ ァイルに翻訳したものである。
FORTRAN : F3D1000.EXE ～ F3D8000.EXE
F3DCR.EXE, F3DSY.EXE, F3DSD.EXE
F3V1000.EXE ～ F3V8000.EXE
BASIC F3DCH.EXE, F3DR1.EXE
C F3C1000.EXE, F3C2000.EXE
